.. highlight:: none スタンダードモードによる格子・模型・演算子の定義 ----------------------------------------------------- スタンダードモードを使うとユーザが独自に格子・模型・演算子を定義できます。 ここではスタンダードモードの使い方を説明します。 ユニットセルの定義 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. figure:: ../../img/ja_tutorial_1_Tensor.* :width: 400px :align: center ``[tensor]`` と ``[[tensor.unitcell]]`` ユニットセルの定義は ``[tensor]`` と ``[[tensor.unitcell]]`` を用います :: [tensor] # どういう格子を定義したか？ L_sub = [2, 2] # 2x2 unitcell skew = 0 # y方向の境界を越えた時のx方向のずれ [[tensor.unitcell]] virtual_dim = [4, 4, 4, 4] # ボンド次元 (←,↑,→,↓の順) index = [0, 3] # ユニットセル中のどのテンソルかを示す番号 physical_dim = 2 # 物理ボンドの次元 initial_state = [1.0, 0.0] # 初期状態の係数 noise = 0.01 # 初期テンソルのゆらぎ 全体の初期状態 :math:`\ket{\psi}` はサイトごとの初期状態 :math:`\ket{\psi_i}` の直積状態 :math:`\ket{\Psi} = \otimes_i \ket{\Psi_i}` で書けます。 :math:`\ket{\psi_i}` は、initial_state配列の要素を前から :math:`a_0,a_1,\ldots,a_{d-1}` とすると、 .. math:: \ket{\Psi_i} \propto \sum_k^{d-1}a_k\ket{k} と書けます。 模型（ハミルトニアン）の定義 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ .. figure:: ../../img/ja_tutorial_1_Hamiltonian.* :width: 400px :align: center [[hamiltonian]] の模式図 TeNeSはハミルトニアンをボンドハミルトニアン (2サイトハミルトニアン) とサイトハミルトニアン（1サイトハミルトニアン）の和として扱います。 .. math:: \mathcal{H} = \sum_{i,j}\mathcal{H}_{i,j} + \sum_{i}\mathcal{H}_{i} これら局所ハミルトニアンは（非ゼロの）行列要素と作用するサイト・ボンドの組み合わせで定義されます。 ボンドはsourceサイトとtargetサイトの組であると考えます。 行列要素によって模型が、ボンドによって格子が定義されます。 ボンドハミルトニアン ++++++++++++++++++++++++ それぞれの局所ハミルトニアンは ``[[hamiltonian]]`` で記述されます。 ボンドハミルトニアンの作用するボンドは ``bonds`` 文字列で指定します。 :: [[hamiltonian]] bonds = """ # 作用するボンドの集合(1行1ボンド) 0 1 0 # 1列目: ユニットセル内のsourceの番号 1 1 0 # 2列目: sourceからみたtargetのx座標(変位) 2 1 0 # 3列目: sourceからみたtargetのy座標(変位) 3 1 0 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 """ 3つの整数からなる 1行が1つのボンドを表現します。 最初の整数はユニットセル内の source サイトの番号です。 残り2つは、 source サイトから見た target サイトの x 座標、 y 座標です。 たとえば ``0 1 0`` は 0番と右隣 (x+=1, y+=0) にある1番の組、 ``1 0 1`` は1番と上隣 (x+=0, y+=1) にある3番の組を表します。 ボンドハミルトニアンの次元、すなわち作用するサイト対の取りうる状態数の数は ``dim`` で指定し、 ボンドハミルトニアン演算子の非ゼロ行列要素は ``elements`` 文字列で指定します。 :: dim = [2, 2] # [source, target] の取りうる状態数の対 elements = """ # ハミルトニアンの(非ゼロな)行列要素(1行1要素) 0 0 0 0 0.25 0.0 # 1列目: 作用前のsourceの状態 1 0 1 0 -0.25 0.0 # 2列目: 作用前のtargetの状態 0 1 1 0 0.5 0.0 # 3列目: 作用後のsourceの状態 1 0 0 1 0.5 0.0 # 4列目: 作用後のtargetの状態 0 1 0 1 -0.25 0.0 # 5列目: 要素の実部 1 1 1 1 0.25 0.0 # 6列目: 要素の虚部 """ ``elements`` の1行が行列要素1つに対応します。 最初の整数2つは演算子作用 **前** の2サイトそれぞれ (source, target) の状態、 つづく整数2つは演算子作用 **後** の2サイトそれぞれ (source, target) の状態を示し、 残る2つの数値は行列要素の実部と虚部を表します。 サイトハミルトニアン ++++++++++++++++++++++++ サイトハミルトニアンは作用するサイトと（非ゼロ）行列要素との組み合わせで定義します。:: [[hamiltonian]] dim = [2] sites = [] elements = """ 1 0 -0.5 0.0 0 1 -0.5 0.0 """ サイトは ``sites`` で指定します。空リストはすべてのサイトを意味します。 行列要素 ``elements`` の指定方法はボンドハミルトニアンと同様です（作用するサイトが1つであることに留意）。 演算子の定義 ~~~~~~~~~~~~~~~~ .. figure:: ../../img/ja_tutorial_1_Observable.* :width: 400px :align: center ``[[observable.onesite]]`` 最終的に期待値を計算する演算子は ``[observable]`` 以下に定義します。 現在は1サイト演算子と2サイト演算子が計算可能です。 定義の仕方はハミルトニアンと同様ですが、名前 ``name`` と演算子番号 ``group`` が必要です。 演算子番号は1サイト演算子と2サイト演算子とで別あつかいです。 なお、エネルギー演算子（ハミルトニアン）もあらためて ``[observable]`` に定義する必要があります (0 番の演算子が定義されていない時、 ``tenes_std`` は ``[[hamiltonian]]`` の内容を自動でコピーします)。 1サイト演算子の例として、スピンのz 成分 .. math:: S^z = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.0 \\ 0.0 & -0.5 \\ \end{pmatrix} を考えると、これは次のように表現できます :: [[observable.onesite]] # 1サイト演算子 name = "Sz" # 名前 group = 0 # 1サイト演算子の識別番号 sites = [] # 1サイト演算子が作用するサイトの番号 ([]はすべてを意味する) dim = 2 # 1サイト演算子の次元 elements = """ # 1サイト演算子行列の非ゼロ要素 (1行1要素) 0 0 0.5 0.0 # 1,2列目: 作用前後の状態 1 1 -0.5 0.0 # 3,4列目: 要素の実部・虚部 """ 2サイト演算子の例として、最近接ボンドにおける Sz 相関 :math:`S^z_i S^z_j` を例に取ると :: [[observable].twosite]] # 2サイト演算子 name = "SzSz" # 名前 group = 1 # 2サイト演算子の識別番号 (1サイトとは独立) dim = [2, 2] # 次元 bonds = """ # 作用するボンド (サイト対) 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 """ ops = [0, 0] # 1サイト演算子の直積で書ける場合、その識別番号 # 今回は"Sz"が0番の1サイト演算子 # elementsとして行列要素を陽に書くことも可能 # (ボンドハミルトニアンと同じ書式) となります。 ボンドの指定方法はボンドハミルトニアンと同様です。 行列要素についても、ボンドハミルトニアンと同様に ``elements`` で指定することもできますが、 この例のように、 1サイト演算子の直積で書ける場合には、 ``ops`` を用いてその識別番号で表すこともできます。 例： 交代磁場中の反強磁性ハイゼンベルグ模型 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 自分でハミルトニアンを書く例として、交代磁場中の正方格子反強磁性ハイゼンベルグ模型を考えます。 ハミルトニアンは .. math:: \mathcal{H} = J \sum_{\braket{ij}} S_i \cdot S_j - h \sum_{i \in A} S_i^z + h \sum_{j \in B} S_j^z です。 ここで、 :math:`\sum_{\braket{ij}}` は最近接サイト対に対する和で、 :math:`A, B` はそれぞれ正方格子の副格子を表します。 ボンドハミルトニアン :math:`\mathcal{H}_ij` は .. math:: \begin{split} \mathcal{H}_{ij} &= J S_i \cdot S_j \\ &= \begin{pmatrix} J/4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -J/4 & J/2 & 0 \\ 0 & J/2 & -J/4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & J/4 \\ \end{pmatrix} \end{split} で、サイトハミルトニアン :math:`\mathcal{H}_i` は .. math:: \begin{split} \mathcal{H}_{i} &= -h S_i^z \\ &= \begin{pmatrix} -h/2 & 0 \\ 0 & h/2 \\ \end{pmatrix} \end{split} です。 たとえば、極端な例として :math:`J = 0, h = 1` を考えてみると、 入力ファイル (``sample/06_std_model/std.toml``) は次のとおりです。 .. literalinclude:: ../../../../sample/06_std_model/std.toml これを用いて計算すると :: $ tenes_std std.toml $ tenes input.toml ... skipped ... Onesite observables per site: hamiltonian = -0.5 0 Sz = 0 0 Twosite observables per site: SzSz = -0.5 0 ... skipped となります。 とくに1サイト演算子の期待値 ``output/onesite_obs.dat`` は:: # $1: op_group # $2: site_index # $3: real # $4: imag 0 0 -5.00000000000000000e-01 0.00000000000000000e+00 0 1 -5.00000000000000000e-01 0.00000000000000000e+00 0 2 -5.00000000000000000e-01 0.00000000000000000e+00 0 3 -5.00000000000000000e-01 0.00000000000000000e+00 1 0 5.00000000000000000e-01 0.00000000000000000e+00 1 1 -5.00000000000000000e-01 0.00000000000000000e+00 1 2 -5.00000000000000000e-01 0.00000000000000000e+00 1 3 5.00000000000000000e-01 0.00000000000000000e+00 -1 0 2.20256797875764860e+04 0.00000000000000000e+00 -1 1 2.20198975366861232e+04 0.00000000000000000e+00 -1 2 2.20294461413457539e+04 0.00000000000000000e+00 -1 3 2.20236290136460302e+04 0.00000000000000000e+00 であり、 :math:`S^z` (``op_group=1``)を見ると A 副格子 (``site_index=0,3``) のスピンは上 (``0.5``) を、 B 副格子 (``site_index=1,2``) のスピンは下 (``-0.5``) を向いていることがわかります。 今回は交代磁場のみをかける (:math:`J = 0, h = 1`) ことで、Neel 状態を表すようなテンソルを得られました。 このテンソルは ``tensor`` ディレクトリに保存されており (``tensor_save = "tensor"``)、そのまま他の模型での初期テンソルとして利用できます (``tensor_load = "tensor"`` とする)。