5.3. 熱的純粋量子状態による有限温度計算

杉浦・清水によって、 少数個（サイズが大きい場合はほぼ一つ）の 波動関数から有限温度の物理量を計算する方法が提案されました [1] [2] 。 その状態は熱的純粋量子状態(TPQ)と呼ばれています。 TPQはハミルトニアンを波動関数に順次作用させて得られるので、 Lanczos法の技術がそのまま使うことができます。 TPQ状態は次のように与えられます。

(5.9)\[|\Phi(\beta)\rangle\equiv\exp(-\frac{\beta\hat{\mathcal H}}{2})|\Phi_{\rm rand}\rangle.\]

ここで \(\beta\) は逆温度、\(|\Phi_{\rm rand}\rangle\) はランダムな初期ベクトルです。 \(|\Phi(\beta)\rangle\) の期待値として、有限温度の物理量が計算できることが 示されています.

5.3.1. 実際の実装について

mTPQ状態の構成について

ここでは、とくに計算が簡単な, micro canonical TPQ(mTPQ)の 概要を述べます [1]。

\(|\Phi_{\rm rand}\rangle\)をあるランダムベクトルとします。 これに\((l-{\mathcal H}/N_{s})\)(\(l\)はある定数、\(N_{s}\)はサイト数)を\(k\)回作用させた （規格化された）ベクトルは次のように与えられます。

(5.10)\[\begin{aligned} |\Phi_{k}\rangle \equiv \frac{(l-{\mathcal H}/N_{s})|\Phi_{k-1}\rangle}{|(l-{\mathcal H}/N_{s})|\Phi_{k-1}\rangle|}.\end{aligned}\]

この\(|\Phi_{k}\rangle\)がmTPQ状態で、このmTPQ状態に対応する逆温度\(\beta_{k}\)は 以下のように内部エネルギー\(u_{k}\)から求めることができます。

(5.11)\[\begin{aligned} \beta_{k}\sim \frac{2k/N_{s}}{l-u_{k}},~~ u_{k} = \langle \Phi_{k}|{\mathcal H}|\Phi_{k}\rangle/N_{s}.\end{aligned}\]

そして、任意 [3] の物理量\(\hat{A}\)の\(\beta_{k}\)での平均値は

(5.12)\[\begin{aligned} \langle \hat{A}\rangle_{\beta_{k}} = \langle \Phi_{k}|\hat{A}|\Phi_{k}\rangle/N_{s}\end{aligned}\]

となります。 有限系では最初の乱数ベクトルによる誤差がありますので、 いくつか独立な計算を行って、\(|\psi_{0}\rangle\) に関する平均値および標準偏差を見積もっています。

cTPQ状態の構成について

カノニカルTPQ(cTPQ)状態の構成方法について述べます [2], cTPQ法では \(\exp[-\beta\hat{\mathcal H}/2]\) は 次にように近似されます.

(5.13)\[\begin{split}&\exp(-\frac{\beta\hat{\mathcal H}}{2})|\Phi_{\rm rand}\rangle\sim|\Phi_{k}\rangle = U(\Delta\tau)^{k}|\Phi_{\rm rand}\rangle\\ &U(\Delta\tau)=\sum_{n=0}^{n_{\rm max}}\frac{1}{n!}(-\frac{\Delta\tau}{2}\hat{\mathcal H})^{n}\\ &\beta_{k}=k\Delta \tau\end{split}\]

mTPQと同じように物理量はcTPQ状態の期待値として計算できます。

(5.14)\[\langle \hat{A}\rangle_{\beta_{k}} = \frac{\langle\Phi_{k}|\hat{A}|\Phi_{k}\rangle}{\langle\Phi_{k}|\Phi_{k}\rangle}.\]

初期ベクトルの設定について

熱的純粋量子状態による有限温度計算では、初期ベクトルは全ての成分に対してランダムな係数を与えます。 初期ベクトルの係数の型はModParaで指定される入力ファイルのInitialVecTypeを用い、 実数もしくは複素数の指定をすることができます。乱数のシードはinitial_iv (\(\equiv r_s\))により

(5.15)\[\begin{aligned} 123432+(n_{\rm run}+1)\times |r_s|+k_{\rm Thread}+N_{\rm Thread} \times k_{\rm Process}\end{aligned}\]

で与えられます。ここで、\(n_{\rm run}\)はrunの回数であり、runの最大回数はスタンダードモード用入力ファイル、 もしくはModParaで指定される入力ファイルのNumAveで指定します。 initial_ivはスタンダードモード用の入力ファイル、もしくはエキスパートモードではModParaで指定される入力ファイルで指定します。乱数はSIMD-oriented Fast Mersenne Twister(dSFMT)を用い発生させています [4] 。 また、\(k_{\rm Thread}, N_{\rm Thread}, k_{\rm Process}\)はそれぞれスレッド番号、スレッド数、プロセス番号を表します。 したがって同じinitial_ivを用いても、並列数が異なる場合には別の初期波動関数が生成されます。